Geometry - Advanced Concepts

Q1: English: A circle has center O. From an external point P, two tangents PA and PB are drawn to the circle, touching at A and B respectively. If ∠APB = 60°, and the radius of the circle is 10 cm, find the length of the tangent PA and the distance OP from the center to the external point. हिन्दी: एक वृत्त का केंद्र O है। बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं, जो क्रमशः A और B पर स्पर्श करती हैं। यदि ∠APB = 60° है, और वृत्त की त्रिज्या 10 cm है, तो स्पर्श रेखा PA की लंबाई और केंद्र से बाह्य बिंदु OP की दूरी ज्ञात करें।

PA = 10√3 cm, OP = 20 cm PA = 10 cm, OP = 20√3 cm PA = 20 cm, OP = 10√3 cm PA = 10√2 cm, OP = 10√2 cm

Q2: English: A circle with radius 14 cm has a square inscribed in it such that all four vertices of the square lie on the circumference. Find the area of the shaded region (the region between the square and the circle). Also find the perimeter of the square. (Use π = 22/7) हिन्दी: 14 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक वर्ग इस प्रकार अंतर्निहित है कि वर्ग के सभी चार शीर्ष परिधि पर स्थित हैं। वर्ग और वृत्त के बीच के छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें। वर्ग का परिमाप भी ज्ञात करें। (π = 22/7 का प्रयोग करें)

Shaded = 224 cm², Perimeter = 56√2 cm Shaded = 224 cm², Perimeter = 56 cm Shaded = 616 cm², Perimeter = 56√2 cm Shaded = 392 cm², Perimeter = 56 cm

Q3: English: In triangle ABC, AD is the angle bisector of ∠A meeting BC at D. If AB = 12 cm, AC = 16 cm, and BC = 21 cm, find the lengths of BD and DC. Also find the length of AD using the angle bisector theorem. हिन्दी: त्रिभुज ABC में, AD, ∠A का कोण समद्विभाजक है जो BC को D पर मिलता है। यदि AB = 12 cm, AC = 16 cm, और BC = 21 cm है, तो BD और DC की लंबाई ज्ञात करें। कोण समद्विभाजक प्रमेय का उपयोग करके AD की लंबाई भी ज्ञात करें।

BD = 9 cm, DC = 12 cm, AD = 12 cm BD = 12 cm, DC = 9 cm, AD = 10 cm BD = 10.5 cm, DC = 10.5 cm, AD = 14 cm BD = 8 cm, DC = 13 cm, AD = 12 cm

Q4: English: ABCD is a cyclic quadrilateral with AB = 8 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, and DA = 6 cm. Find the lengths of the diagonals AC and BD using Ptolemy's theorem. Also find the area of the quadrilateral using Brahmagupta's formula. हिन्दी: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AB = 8 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, और DA = 6 cm हैं। टॉलेमी प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण AC और BD की लंबाई ज्ञात करें। ब्रह्मगुप्त सूत्र का उपयोग करके चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात करें।

AC = 10.5 cm, BD = 9.5 cm, Area = 62.5 cm² AC = 9.5 cm, BD = 10.5 cm, Area = 62.5 cm² AC = 10 cm, BD = 10 cm, Area = 60 cm² AC = 11 cm, BD = 9 cm, Area = 65 cm²

Q5: English: Find the equation of the circle passing through the points A(1, 2), B(4, 6), and C(5, 3). Also find the center and radius of the circle. Verify whether point D(7, 4) lies on the circle. हिन्दी: बिंदुओं A(1, 2), B(4, 6), और C(5, 3) से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात करें। वृत्त का केंद्र और त्रिज्या भी ज्ञात करें। जांचें कि बिंदु D(7, 4) वृत्त पर स्थित है या नहीं।

x² + y² - 6x - 6y + 8 = 0, Center (3, 3), Radius √10, D lies outside x² + y² - 6x - 6y + 8 = 0, Center (3, 3), Radius √10, D lies on circle x² + y² + 6x + 6y + 8 = 0, Center (-3, -3), Radius √10 x² + y² - 6x - 6y - 8 = 0, Center (3, 3), Radius √17

Q6: English: The vertices of a triangle are A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), and C(7, 8, 10). Find the lengths of all three sides, the perimeter, the area of the triangle, and determine whether it is a right triangle. हिन्दी: एक त्रिभुज के शीर्ष A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), और C(7, 8, 10) हैं। तीनों भुजाओं की लंबाई, परिमाप, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें, और बताएं कि क्या यह समकोण त्रिभुज है।

AB = √27, BC = √29, AC = √59, Perimeter = √27+√29+√59, Area = 2.5√2, Not right triangle AB = √27, BC = √29, AC = √59, Perimeter = √27+√29+√59, Area = 5√2, Right triangle AB = 3√3, BC = √29, AC = √59, Perimeter = √27+√29+√59, Area = 2.5√2, Right triangle AB = √27, BC = √29, AC = √59, Perimeter = √27+√29+√59, Area = 2.5√2, Right triangle

Q7: English: Triangle ABC has vertices A(0, 0), B(6, 0), and C(3, 6). Find the circumcenter and incenter of the triangle. Also find the circumradius and inradius. Verify that the distance from the circumcenter to any vertex is equal to the circumradius. हिन्दी: त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, 0), B(6, 0), और C(3, 6) हैं। त्रिभुज का परिकेंद्र और अंतःकेंद्र ज्ञात करें। परित्रिज्या और अंतःत्रिज्या भी ज्ञात करें। सत्यापित करें कि परिकेंद्र से किसी भी शीर्ष की दूरी परित्रिज्या के बराबर है।

Circumcenter (3, 3), Incenter (3, 2.5), Circumradius = 3, Inradius = 2.5 Circumcenter (3, 2), Incenter (3, 3), Circumradius = 3√2, Inradius = 3 Circumcenter (3, 3), Incenter (3, 2.5), Circumradius = √18 = 3√2, Inradius = 2.5 Circumcenter (3, 3), Incenter (3, 2), Circumradius = 3√2, Inradius = 2.5

Q8: English: A sphere has radius R = 10 cm. Two points A and B on the sphere have central angle ∠AOB = 60°. Find the length of the great circle arc AB (the shortest distance between A and B on the sphere). Also find the area of the spherical triangle formed by A, B, and the North Pole if the latitude of both A and B is 30°N. हिन्दी: एक गोले की त्रिज्या R = 10 cm है। गोले पर दो बिंदु A और B के बीच केंद्रीय कोण ∠AOB = 60° है। A और B के बीच गोले पर महावृत्त चाप AB (न्यूनतम दूरी) की लंबाई ज्ञात करें। यदि A और B दोनों का अक्षांश 30°N है, तो A, B और उत्तरी ध्रुव से बने गोलीय त्रिभुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात करें।

Arc length = 10π/3 cm, Area = 5π/3 cm² Arc length = 10π/3 cm, Area = 10π/3 cm² Arc length = 20π/3 cm, Area = 5π/3 cm² Arc length = 10π/3 cm, Area = 25π/3 cm²

Q9: English: A parabola has focus at (4, 2) and directrix y = -4. Find the equation of the parabola, its vertex, and the length of the latus rectum. Also find the coordinates of the points where the parabola intersects the x-axis and y-axis. हिन्दी: एक परवलय का फोकस (4, 2) पर और नियता y = -4 है। परवलय का समीकरण, शीर्ष, और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात करें। परवलय के x-अक्ष और y-अक्ष को काटने वाले बिंदुओं के निर्देशांक भी ज्ञात करें।

Equation: (x-4)² = 12(y+1), Vertex (4, -1), Latus rectum = 12, x-axis intersects at (4, 0), y-axis intersects at (0, 2) and (0, -4) Equation: (x-4)² = 6(y+1), Vertex (4, -1), Latus rectum = 6, x-axis intersects at (4, 0), y-axis intersects at (0, 2) Equation: (x-4)² = 12(y+1), Vertex (4, -1), Latus rectum = 12, x-axis intersects at (4, 0), y-axis intersects at (0, 1) Equation: (x-4)² = 24(y+1), Vertex (4, -1), Latus rectum = 24, x-axis intersects at (4, 0), y-axis intersects at (0, 2)

Q10: English: A convex polyhedron has 12 faces and 30 edges. Find the number of vertices using Euler's formula. If the polyhedron is a regular icosahedron, find the number of faces meeting at each vertex. Also calculate the total surface area if each face is an equilateral triangle with side length 4 cm. हिन्दी: एक उत्तल बहुफलक के 12 फलक और 30 किनारे हैं। यूलर सूत्र का उपयोग करके शीर्षों की संख्या ज्ञात करें। यदि बहुफलक एक नियमित विंशतिफलक है, तो प्रत्येक शीर्ष पर मिलने वाले फलकों की संख्या ज्ञात करें। यदि प्रत्येक फलक 4 cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल भी ज्ञात करें।

Vertices = 20, Faces at vertex = 5, Surface area = 48√3 cm² Vertices = 20, Faces at vertex = 5, Surface area = 24√3 cm² Vertices = 20, Faces at vertex = 3, Surface area = 48√3 cm² Vertices = 20, Faces at vertex = 5, Surface area = 96√3 cm²

Q11: English: From an external point P(8, 6), tangents are drawn to the circle x² + y² = 25. Find the length of each tangent, the equation of the chord of contact, and the area of the triangle formed by the two tangents and the chord of contact. Also find the angle between the two tangents. हिन्दी: बाह्य बिंदु P(8, 6) से वृत्त x² + y² = 25 पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई, स्पर्श जीवा का समीकरण, और दो स्पर्श रेखाओं तथा स्पर्श जीवा से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण भी ज्ञात करें।

Tangent length = √39, Chord of contact: 8x + 6y = 25, Area = 25√39/13, Angle = 2tan⁻¹(√39/5) Tangent length = √39, Chord of contact: 8x + 6y = 25, Area = 25√39/13, Angle = 2tan⁻¹(√39/5) Tangent length = √39, Chord of contact: 8x + 6y = 25, Area = 25√39/13, Angle = 2tan⁻¹(5/√39) Tangent length = 5, Chord of contact: 8x + 6y = 25, Area = 25√39/13, Angle = 2tan⁻¹(√39/5)

Q12: English: An ellipse has equation x²/25 + y²/16 = 1. Find the coordinates of the foci, the eccentricity, the length of the major and minor axes, and the length of the latus rectum. Also find the equation of the tangent to the ellipse at the point (3, 16/5). हिन्दी: एक दीर्घवृत्त का समीकरण x²/25 + y²/16 = 1 है। नाभियों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता, दीर्घ और लघु अक्षों की लंबाई, और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात करें। बिंदु (3, 16/5) पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण भी ज्ञात करें।

Foci (±3, 0), e = 3/5, Major axis = 10, Minor axis = 8, Latus rectum = 32/5, Tangent: 3x/25 + 16y/80 = 1 Foci (±3, 0), e = 3/5, Major axis = 10, Minor axis = 8, Latus rectum = 32/5, Tangent: 3x/25 + 16y/80 = 1 Foci (±4, 0), e = 4/5, Major axis = 8, Minor axis = 10, Latus rectum = 32/5 Foci (±3, 0), e = 3/5, Major axis = 10, Minor axis = 8, Latus rectum = 16/5

Q13: English: A hyperbola has equation x²/9 - y²/16 = 1. Find the coordinates of the vertices, foci, the eccentricity, the equations of the asymptotes, and the length of the latus rectum. Also determine the equation of the tangent at the point (9, 16√2). हिन्दी: एक अतिपरवलय का समीकरण x²/9 - y²/16 = 1 है। शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता, अनंतस्पर्शियों के समीकरण, और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात करें। बिंदु (9, 16√2) पर स्पर्श रेखा का समीकरण भी ज्ञात करें।

Vertices (±3, 0), Foci (±5, 0), e = 5/3, Asymptotes: y = ±4x/3, Latus rectum = 32/3, Tangent: 9x/9 - 16√2 y/16 = 1 Vertices (±3, 0), Foci (±5, 0), e = 5/3, Asymptotes: y = ±4x/3, Latus rectum = 32/3, Tangent: x - √2 y = 1 Vertices (±3, 0), Foci (±5, 0), e = 5/3, Asymptotes: y = ±4x/3, Latus rectum = 16/3, Tangent: x - √2 y = 1 Vertices (±4, 0), Foci (±5, 0), e = 5/4, Asymptotes: y = ±4x/3, Latus rectum = 32/3, Tangent: x - √2 y = 1

Q14: English: Find the equation of the plane passing through the points A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), and C(7, 8, 10). Also find the distance of the point D(10, 11, 12) from this plane. Determine whether the plane is parallel to the line through points P(1, 1, 1) and Q(2, 3, 4). हिन्दी: बिंदुओं A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), और C(7, 8, 10) से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें। बिंदु D(10, 11, 12) से इस समतल की दूरी भी ज्ञात करें। बताएं कि क्या समतल बिंदुओं P(1, 1, 1) और Q(2, 3, 4) से गुजरने वाली रेखा के समानांतर है।

Plane: x + 2y - z = 2, Distance from D = 0 (D lies on plane), Plane is parallel to line PQ Plane: x + 2y - z = 2, Distance from D = 0 (D lies on plane), Plane is not parallel to line PQ Plane: x + 2y - z = 2, Distance from D = √6, Plane is parallel to line PQ Plane: x - 2y + z = 2, Distance from D = 0 (D lies on plane), Plane is parallel to line PQ

Q15: English: Construct a triangle ABC with base BC = 10 cm, angle B = 60°, and angle C = 45°. Find the lengths of sides AB and AC, the altitude from A to BC, the area of the triangle, and the radius of the circumcircle. Also determine whether the triangle is acute, right, or obtuse. हिन्दी: एक त्रिभुज ABC की रचना करें जिसका आधार BC = 10 cm, कोण B = 60°, और कोण C = 45° है। भुजाओं AB और AC की लंबाई, A से BC पर डाले गए लंब की लंबाई, त्रिभुज का क्षेत्रफल, और परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें। साथ ही बताएं कि त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण, या अधिककोण है।

AB = 10√3/2 cm, AC = 10√2 cm, Altitude = 5√3 cm, Area = 25√3 cm², Circumradius = 5√2 cm, Right triangle AB = 10√3/2 cm, AC = 10√2 cm, Altitude = 5√3 cm, Area = 25√3 cm², Circumradius = 5√3 cm, Acute triangle AB = 10√3/2 cm, AC = 10√2 cm, Altitude = 5√3 cm, Area = 25√3 cm², Circumradius = 5√2 cm, Obtuse triangle AB = 5√3 cm, AC = 5√2 cm, Altitude = 5√3 cm, Area = 25√3 cm², Circumradius = 5√2 cm, Right triangle